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构造三角形重心巧定两平面法向量的方向

构造三角形重心巧定两平面法向量的方向

证明：（一）若m OP与n OP异号

1）当 0且 0时，由定理1易知：向量与向量指向平面 的同侧；向量与向量指向平面 的异侧，而始终都是指向两平面外部的，所以向量m与向量n与两平面的指向互异，所以 m,n 2）同理可证当 0且 0时， m,n （二）若m OP与n OP同号

1）当 0且 0时，由定理1易知：向量与向量指向平面 的同侧；向量与向量也指向平面 的同侧，而始终都是指向两平面外部的，所以向量m与向量n与两平面的指向一致，所以 m,n ； 2）同理可证：当 0且 0时， m,n

例1、（2008年全国高考数学北京卷文）

如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC. （Ⅰ）求证：PC⊥AB；

（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小. 解：（Ⅰ）略

（Ⅱ）由题易知：△APC≌△BPC，∴PC CB，∴以C为坐标原点，CB，CA，CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系。

∴A(0,2,0)，则B(2,0,0)，C(0,0,0)，P(0,0,2)，AP中点

M(0,1,1)， (0, 2,2)， ( 2,2,0)， (0,0, 2)。

y

x设平面BAP的一个法向量为n1 (x1,y1,z1)，则由

2x1 2y1 0 n1 0

,即x1 y1 z1，故可取，可得

2y 2z 011 n1 AP 0

n2 0

，可得n1 (1,1,1).设平面APC的一个法向量为n2 (x2,y2,z2)，则由

n2 0

2y2 2z2 0

,即y2 z2 0，故可取n2 (1,0,0)，由于二面角的棱AP的中点

2z 02

22M(0,1,1)，而 BPC在二面角B AP C内，则 BPC的重心Q(,0,)，

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