向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇

一、四心的概念介绍

（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；

（3）内心——角平分线的交点：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合

（1） O是 ABC的重心. 证法1：设O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)

x1 x2 xOA OB OC 0 (x1 x) (x2 x) (x3 x) 0 x 33

(y

1 y) (y2 y) (y3 y) 0 y y

y 1

2y33 O是 ABC的重心.

证法2：如图

OA OB OC

2 2

A、O、D三点共线，且O分AD为2：1 O是 ABC的重心

（2）OA OB OB OC OC OA O为 ABC的垂心.

证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.

OA OB OB OC OB(OA OC) OB CA 0

同理 ，

O为 ABC的垂心

（3）设a,b,c是三角形的三条边长，O是 ABC的内心 BD

C

练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C

aOA bOB cOC 0 O为 ABC的内心.

证明：

cb

分别为AB、

AC方向上的单位向量，

ABc ACb平分 BAC, (ABc ACbcb)，令 a b c

AO

bc

a b c

（c b)，化简得(a b c)OA bAB cAC 0 a b c

（4

O为 ABC的外心。

典型例题：

例1：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

( )， 0, ，则点P的轨迹一定通过 ABC的（ ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 分析：如图所示 ABC，D、E分别为边BC、AC的中点.

2 2

2

// 点P的轨迹一定通过 ABC的重心，即选C.

BDC

例2：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P

满足OP OA

， 0, ，则点P的轨迹一定通

过 ABC的（ ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

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