利用导数求参数的取值范围
高考复习之导数
高考题中的利用导数求参数范围
一 与二次函数的性质、单调性、不等式等相联系 求解策略：利用“要使数的最大值
f(x) a成立，只需使函数的最小值f(x)
min
a恒成立即可；要使f(x) a成立，只需使函
f(x)
a恒成立即可”.
max
这也是近两年高考考查和应用最多的一种. 例1（05湖北理）已知向量a=(x,x
2
1)，a=(1 x,t)，若f(x) a b在区间(-1,1)上是增函数，求t的取值范围.
解析：由向量的数量积定义，f(x)=x2
(1 x)+(x
1)t= x
3
+x2
+tx+t
∴f (x)= 3x2
+2x+t.
若f(x)在区间(-1,1)上是增函数，则有f (x)≥0
t≥3x2
-2x在 (-1,1)上恒成立.
若令g(x)=3x2
-2x=-3(x 13
)2
-
13
在区间[-1,1]上，g(x)
max
=g( 1)=5，故在区间(-1,1)上使t≥g(x)恒成立，
只需t≥g( 1)即可，即t≥5.
即t的取值范围是[5，∞）.
点评：本题除了用导数反映单调性，还借助了二次函数的性质求出最值，且要注意边界值的取舍。 例2使不等式x4-2x2
>2 a对任意的实数x都成立，求实数a的取值范围. 解析：注意到不等式的次数较高，应想到构造函数，求导.
令f(x)=x4-2x2
，则如果原不等式对任意的实数x都成立等价于f(x)
>2 a.
min
又f (x)=4x3
-4x=4x2
(x 1)，令f (x)=0，解得，x=0或x=1.
f (x)的符号及f(x)的单调性如下：
因为f(x)在R上的极值只有一个，故此极小值即为最小值，即f(x)=f(1)= -1，
min
∴f(x)
= -1>2 a，即a>3.
min
点评：本题是利用导数求得函数的最值，进而求出参数范围的。
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