高考复习之导数

例3（05天津理）若函数f(x)=log(x3 ax)

a(a>0,a≠1)在区间(-12

,0)内单调递增，则a的取值范围是（ ）

A[1

,1) B[

394.1) C(,+∞) D(1, 9444

) 解析：f(x)是复合函数，须按0<a<1及a>1两种情况考虑.

令g(x)=x3

ax，∵f(x)在(-

12

,0)上为增函数，

① 若0<a<1，则g(x)在(-

12,0)上为减函数，即g (x)=3x2 a<0在(-12

,0)上恒成立， 即a>3x2

在(-1,0)上恒成立, ∴a≥3( 1)2=3,此时，3≤4

a＜1；

224② 若a>1，则g(x)在(-

12,0)上为增函数，须使g (x)=3x2 a＞0在(-12

,0)上恒成立，

即a＜3x2

在(-

12

,0)上恒成立, 即a≤0，不合题意.

综上，a∈[34

.1).

点评：解决与复合函数有关问题，要注意复合函数的单调性，否则就会南辕北辙. 例4（04辽宁）已知函数f(x) ln(ex a)(a 0). （1）求函数y f(x)的反函数y f

1

(x)及f(x)的导数f (x);

（2）假设对任意x [ln(3a),ln(4a)],不等式|m f 1

(x)| ln(f (x)) 0成立，求实数m的取值范围.

解析：(1) 解略. f

1

(x)=ln(ex

a)，f (x)=e

x；得ln(f (x))=x ln(ex

a)；

ex a

(2) 解此绝对值不等式得f

1

(x)+ln(f (x))<m<f

1

(x)-ln(f (x))

把（1）代入上式，得ln(ex

a)-ln(ex

a)+x<m<ln(ex

a)+ln(ex

a)-x 若把此不等式左右两边设为两个新函数，即

令 (x)=ln(ex a)-ln(ex a)+x，g(x)=ln(ex a)+ln(ex

a)-x 则原不等式对于任意x [ln(3a),ln(4a)]恒成立，意即 (x)<m<g(x)成立， 只需满足 (x)

<m<g(x)

即可.

max

min

(x)=

ex

ex

1，g (x)=

ex

ex

1，

ex aex a

ex aex a