导数含参数问题的分类讨论

作者：曹丽红

来源：《文理导航·教师论坛》2013年第02期

利用导数来研究函数的单调性、极值、最值问题是高中数学的重要内容，分类讨论的思想又是高中阶段着重培养的思想方法。导数大题的共同点就是求完导数后往往转化为带参数的函数，因此，需要利用分类讨论来解决含参数的导数问题成为近几年高考考查的一个重点和热点。导数是解决函数单调性，最值等问题十分有利的工具，但学生在运用导数含参的问题时，往往产生惧怕心理，尤其对分类讨论感到困惑。关于导数的分类讨论最常用有以下两种。

一、区间固定讨论极值点

现在以2012年北京高考题为例。本题第二问主要考察用导数来求函数的单调区间，以及在确定区间内求函数的最值问题。试题的背景是以人教版A版2-2 1.3.2节例4，例5为蓝本。例4是求函数的极值，例题的极值点是确定的具体的数。例5是在闭区间内求最值。此例题的极值点和端点值都是具体的实数。接下来要讲的这道高考题和这道例题类似，把极值点变成含参数的极值点。这道高考题目是来源于例题又高于例题。

（2012年北京卷理科18题）

已知函数f（x）=ax2+1（a>0）与曲线g（x）=x3+bx

（1）若曲线y=f（x），y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值；

（2）当a2=4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（-∞，-1]上的最大值。

此例题与课本例4：求y=x3/3-4x+4的极值，例5求y=x3/3-4x+4在区间[0，3]上求函数的最值进行对比。首先是找出两例题的相同点。两题的相同之处都是三次函数，都是求函数的单调区间和在固定的区间内求最值。不同点是北京高考题中函数的极值点含有参数，极值点不固定，而课本例题的极值点是确定的。要研究函数在固定区间上的最值问题，就是研究函数在此区间上的单调性，要研究函数的单调性就是研究函数的极值点，利用传递性可得解决问题的实质就是研究函数的极值点。研究函数的最值问题就是研究函数的极值点与区间位置关系的问题。

这里主要来针对第二问进行研究，就是讨论极值点与区间的位置关系，此题有两个极值点。分三类进行讨论。第一类是极值点都在区间的左侧，第二类是极值点一个在区间内，一个在区间外，第三类是两个极值点都在区间的右侧。

解：