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第二章 随机变量

第一节 随机变量及其分布函数

上一章中我们讨论的随机事件中有些是直接用数量来标识的，例如，抽样检验灯泡质量试验中灯泡的寿命；而有些则不是直接用数量来标识的，如性别抽查试验中所抽到的性别.为了更深入地研究各种与随机现象有关的理论和应用问题，我们有必要将样本空间的元素与实数对应起来.即将随机试验的每个可能的结果e都用一个实数X来表示.例如，在性别抽查试验中用实数“1”表示“出现男性”，用“0”表示“出现女性”.显然，一般来讲此处的实数X值将随e的不同而变化，它的值因e的随机性而具有随机性，我们称这种取值具有随机性的变量为随机变量.

定义2.1 设随机试验的样本空间为Ω，如果对Ω中每一个元素e，有一个实数X（e）与之对应，这样就得到一个定义在Ω上的实值单值函数X=X（e），称之为随机变量（Random variable）.

随机变量的取值随试验结果而定，在试验之前不能预知它取什么值，只有在试验之后才知道它的确切值；而试验的各个结果出现有一定的概率，故随机变量取各值有一定的概率.这些性质显示了随机变量与普通函数之间有着本质的差异.再者，普通函数是定义在实数集或实数集的一个子集上的，而随机变量是定义在样本空间上的（样本空间的元素不一定是实数），这也是二者的差别.

本书中，我们一般以大写字母如X，Y，Z，W， 表示随机变量，而以小写字母如x,y,z,w， 表示实数.

为了研究随机变量的概率规律，并由于随机变量X的可能取值不一定能逐个列出，因此我们在一般情况下需研究随机变量落在某区间（x1，x2］中的概率，即求P{x1＜X≤x2}，但由于P{x1＜X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}，由此可见要研究P{x1＜X≤x2}就归结为研究形如P{X≤x}的概率问题了.不难看出，P{X≤x}的值常随不同的x而变化，它是x的函数，我们称这函数为分布函数.

定义2.2 设X是随机变量，x为任意实数，函数

F(x)=P{X≤x}

称为X的分布函数（Distribution function）.

对于任意实数x1,x2(x1<x2)，有

P{x1<X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}

=F(x2)-F(x1)， （2.1）

因此，若已知X的分布函数，我们就能知道X落在任一区间（x1,x2]上的概率.在这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性.

如果将X看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数F（x）在x处的函数值就表示X落在区间（-∞,x]上的概率.

分布函数具有如下基本性质： 1°F(x)为单调不减的函数.

事实上，由（2.1）式，对于任意实数x1,x2（x1<x2），有

F（x2）-F(x1)=P{x1<X≤x2}≥0.