第一章 导数及其应用综合检测

1．(2010·全国Ⅱ文，7)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( ) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 [解] y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1. 2．一物体的运动方程为s＝2tsint＋t，则它的速度方程为( )

A．v＝2sint＋2tcost＋1 B．v＝2sint＋2tcost C．v＝2sint D．v＝2sint＋2cost＋1 [解析] 因为变速运动在t0的瞬时速度就是路程函数y＝s(t)在t0的导数，S′＝2sint＋2tcost＋1，故选A.

3．曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率是( ) A．4 B．5 C．6 D．7

[解析] 由导数的几何意义知，曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率就是函数y＝x2＋3x在x＝2时的导数，y′|x＝2＝7，故选D. 4．函数y＝x|x(x－3)|＋1( )

A．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝1 B．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1 C．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝f(3)＝1 D．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1，f(－1)＝－3

322

x－3x＋1 (x<0或x>3) 3x－6x (x<0或x>3)

[解析] y＝x|x(x－3)|＋1＝ 3∴y′＝ 22

－x＋3x＋1 (0≤x≤3) －3x＋6x (0≤x≤3)

x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：

极大极小5．(2009·安徽理，9)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是( )

A．y＝2x－1 B．y＝x C．y＝3x－2 D．y＝－2x＋3

[解析] 本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式． ∵f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，∴f(2－x)＝2f(x)－x2－4x＋4，

∴f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，切线方程为y－1＝2(x－1)，∴y＝2x－1.

6．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于( )