教案

函数的单调性及典型习题

题型1：证明函数的单调性 例1、证明函数f(x) 练习1

：证明函数f(x)

1

在（0，+ ）是减函数． x

0, 上是增函数．

抽象函数的单调性：例题2：已知函数f(x)对任意x,y∈R均满足：f(x+y)=f(x)+f(y)；f(1)=2；当且仅当x<0时，f(x)<0， 求：当-3≤x≤3时，求f(x)的最大值与最小值。

x y1

练习：已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),

1 xy2试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减.

题型2：判断函数单调性的方法：（1）定义法．（2）直接法．（3）图象法．（4）导数 例3、设函数f（x）＝lg

1-x,试判断f（x）的单调性，并给出证明．

1 x

题型3：求函数的单调区间

2

例4、求下列函数的增区间与减区间：(1)y＝|x2＋2x－3| (2)y log0.7(x 3x 2) (3)函数f(x) xlnx(x 0)的

单调递增区间是 .

1、设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数y=(

1a2 3a 1)的单调递减区间. 2

题型4：用单调性比较大小

例5、已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，试比较大小：(1)f(6)与f(4)(2)f(2)与f( 题型5：利用单调性定参数

例6.若函数f(x) loga(x3 ax) (a 0,a 1)在区间( A [,1) B [,1) C (, )D．(1,)

1、已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在［0，+∞)上是增函数，是否存在实数m,使f(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)>f(0)对所有θ∈［0,

1

,0)内单调递增，则a的取值范围是（ ） 2

14349494

］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由. 2

2、函数f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a的取值范围． 3、函数f(x) x asinx在R上递增，则实数a的取值范围为

4、若函数

f(x) 2x2 lnx在其定义域内的一个子区间(k 1,k 1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是 . ．

题型6：利用单调性求最值：例7、.函数y x 2cosx在区间[0，

3

1

]上的最大值是 . 2

1、已知函数f(x) x 12x 8在区间[ 3,3]上的最大值与最小值分别为M,m，则M m 题型7：利用单调性求解不等式

例8、.

x1

f(x)是定义在R上增函数,且满足f() f(x) f(y)(1)求f(1)的值;(2)若f(6) 1,解不等式f(x 3) f() 2

yx