中学物理 Vol.30 No.13 2012年7月

2011年清华大学自主招生物理试题第7题的多种解法

王 琦

(丰县民族中学 江苏丰县 221700)

题目 空间某区域内存在匀强磁场,磁场的上下边界水平,方向和竖直平面(纸面)垂直,两个由完全相同

的导线制成的刚性线框a和b,其形状分别为周长为4l的正方形和周长为6l的矩形,线框a和b在竖直平面内从(图1)图示位置开始自由下落,若从开始下落到线框完全离开磁场的过程中安培力对两线框的冲量分别为Ia、Ib,则Ia Ib为

A.3 8 B.1 2 C.1 1 D.3 2解法1 I=

安培力的冲量

E

dt=R

BLBLB2L=d = =S

RRR

(S是线框的面积),

La1Sa1

因为=,=,

bbfdt=

BILdt=

BL

所以

和从下边离开磁场到全部离开磁场的过程),则 h=2l,两线框是相等的.而

x

= h,

I=

所以因为

I=La

=bRa

=b

I,

B2L2

2l,1,2,3,8

4=IaLa2Ra

=() =IbLbRb

BLd

dtRdt

本题选A.

解法4 在伽利略对自由落体运动的研究中,伽利略相信,自然界是简单的,自然界的规律也是简单的.他从这个信念出发,猜想落体也一定是一种最简单的变速运动,而最简单的变速运动,它的速度应该是均匀变化的.

但是,速度的变化怎样才算 均匀 呢?他考虑了两种可能:一种是速度的变化对时间来说是均匀的,即v与t成正比,例如,每过1s,速度的变化量都是2m s;另一种是速度的变化对位移来说是均匀的,即v与x成正比,例如,每下落1m,速度的变化量都是2m s.

在这里,伽利略解决了一个问题:速度的变化对时间来说是均匀的匀变速直线运动,也就是我们熟悉的匀变速直线运动,同时还提出一个问题:速度的变化对位移来说是均匀的匀变速直线运动,这种匀变速直线运动存在吗?它有什么规律?伽利略把这个问题留给后人.

牛顿对此问题有所解决.

牛顿在他的名著 自然哲学的数学原理 一书中写下如下的命题:如果一个物体受到的阻力与其速度成正比,则阻力使它损失的运动正比于它在运动中所掠过的距离.( 自然哲学的数学原理 第二编第1章第155页引者注)

我试把这段话 翻译 成物理语言,损失的 运动 理解为损失的速度,命题可表述为:条件:一个物体受到的阻力与其速度成正比:f=kv.

结论:阻力使它损失的运动正比于它在运动中所掠过的距离: v=k x.

证明:因为一个物体受到的阻力与其速度成正比:f=

fkv

kv,所以加速度a==,如果速度是变量,取很短的时

mm

间 t,速度的变化

v=a t=

k

v t,m

所以

所以本题选A.

Ra

=Rb

IaLa

= bb

解法2

42

=,63SaRa

=bb

3,安培力的冲量

B2L2vB2L2B2L2

I=fdt=dt=dx=RRR

(x是线框在竖直方向下落的高度),

La1=,因为

2Lb

xa

b=Ra

=b

所以

1,2,3,8

4=IaLa2xaRa

=() =IbLbxbRb

所以本题选A.

解法3 微元法

在线框下落一个微小的高度 x时,安培力f=的冲量为

B2L2

I=f t= t,

因为时间很短,可以看做速度不变,所以v t= x,在线框下落的整个过程中(从下边进入磁场到全部进入磁场的过程

B2L2

vR