第十九讲 几何图形的计数问题
第十九讲 几何图形的计数问题
在几何中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．
例1 如图1－65所示，数一数图中有多少条不同的线段？
解 对于两条线段，只要有一个端点不同，就是不同的线段，我们以左端点为标准，将线段分5类分别计数：
(1)以A为左端点的线段有AB，AC，AD，AE，AF共5条；
(2)以B为左端点的线段有BC，BD，BE，BF共4条；
(3)以C为左端点的线段有CD，CE，CF共3条；
(4)以D为左端点的线段有DE，DF共2条；
(5)以E为左端点的线段只有EF一条．
所以，不同的线段一共有
5+4+3+2+1=15(条)．
一般地，如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)，那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为
n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2
例2 图1－66中有多少个三角形？
解 以OA为一边的三角形有△OAB，△OAC，△OAD， △OAE，△OAF共5个；以OB为一边的三角形还有4个(前面已计数过的不再数，下同)，它们是△OBC，△OBD，△OBE， △OBF；以OC为一边的三角形有△OCD，△OCE，△OCF共3个；以OD为一边的三角形有△ODE，△ODF共2个；以OE为一边的三角形有△OEF一个．所以，共有三角形
5+4+3+2+1=15(个)．
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