2011届高中数学立体几何复习

2011届高中数学立体几何复习6：空间向量的坐标运算 高考要求

要使学生理解空间向量、空间点的坐标的意义，掌握向量加法、减法、数乘、点乘的坐标表示以及两点间的距离、夹角公式通过解题，会应用空间向量的坐标运算解决立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题知识点归纳

1空间直角坐标系：

（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{i,j,k}表示；

（2）在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向建立三条数轴：

x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz，点O叫原点，向量 i,j,k都叫

坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面；2．空间直角坐标系中的坐标：

在空间直角坐标系O xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使OA xi yj zk，有

序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系O xyz中的坐标，记作A(x,y,z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标．

3．空间向量的直角坐标运算律：

（1）若a (a1,a2,a3)，b (b1,b2,b3)，

则a b (a1 b1,a2 b2,a3 b3)，

a b (a1 b1,a2 b2,a3 b3)，

a ( a1, a2, a3)( R)，

a b a1b1 a2b2 a3b3， a//b a1 b1,a2 b2,a3 b3( R)，

a b a1b1 a2b2 a3b3 0．

（2）若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB (x2 x1,y2 y1,z2 z1)．

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标

4模长公式：若a (a1,a2,a3)，b (b1,b2,b3)，

则|a| |b| ．

a b

5

．夹角公式：cosa b |a| |b| 则|AB|

．

6．两点间的距离公式：若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，

，

或dA,B 题型讲解

例1 已知AB=（2，2，1），AC=（4，5，3），求平面ABC的单位法向量

解：设面ABC的法向量n (x,y,z)，

则n⊥AB且n⊥AC，即n²AB=0，且n²AC=0，

1

x z,

即2x+2y+z=0且4x+5y+3z=0，解得 2

y z, n 1122

∴n=z（，－1，1），单位法向量n0 =±（，－，）

2333|n|

点评：一般情况下求法向量用待定系数法由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把n