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中学教研 (数学)

2 0 1 5生

以阿氏圆为背景编拟问题的新视角 ●余建国 (大厂高级中学 江苏南京 2 1 0 0 4 4 )

阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里德齐名，被称为亚历山大时期数学三巨匠.阿波罗尼斯对圆锥曲

(不同于点 A ),满足：对于圆 C上任意一点 P,都有

线有深刻而系统的研究，其主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是其研 究成果之一. 1关于阿波罗尼斯圆

为一常数，试求所有满足条件的点 B的坐标和 常数.

A B为平面内的定长线段， c为一个动点，满足 C A= .

、 i

A 7 0 .

}

|

孚( D其中口≠ 6 ),则点 c的轨 图 1

图2

图 3

迹是一个圆.这个圆直径的

以上这些以阿氏圆为背景的问题，共同点都是

2端是按定比旱内分 A B和外分 A曰所得的 2个分 点.如图 1, 为A B的内分点，Ⅳ为 A B的外分点

“ 2个定点”是定的——无论是已知的，还是求出 的.如2 0 1 3年江苏省数学高考试题第 1 7题：如图 3,在平面直角坐标系 x o r中，点 A( 0, 3 ),直线 Z: Y= 2 x一 4 .设圆 C的半径为 1,圆心在 z上， 1 )略； 2 )若圆 c上存在点，使 MA= 2 MO,求圆心 c的横坐标口的取值范围.将阿氏圆设为隐蔽的，并将这个圆与另一个动圆联系起来，通过 2个圆的位置关系确定动圆中参数的取值范围.这个改编立意新颖，为继续设计以阿氏圆为背景的问题提供了新的视角. 3 以阿氏圆为背景编拟问题的新视角

若 A M==詈 (其中 n≠ 6 ),则以删为直径的圆 D就是动点 C的轨迹，这是著名的阿波罗尼斯轨迹定理.以 MN为直径的圆 0叫做阿波罗尼斯圆，简 称阿氏圆. 2 以阿氏圆为背景的问题回顾

以阿氏圆为背景编拟的问题，无论是教材还是 高考题，都有相当的历史了.起初是一些直接的“求轨迹问题”,如 1 9 9 4年全国数学高考文科试题第2 4题：已知直角坐标平面上点 Q( 2, 0)和圆 c: + Y =1,动点到圆 c的切线长与 l MQI的比等

视角 1直线与

圆域的位置关系设计方法将阿氏圆定义中的“=”改为“> (或<)”,那么动点 C的轨迹就变成了阿氏圆的外部(或内部，视比值大小而定 )了，称这个轨迹为圆域，由此可以转而研究直线与圆域的位置关系，或者 2个圆 (域)的位置关系. 例 1已知点 A( 0, 2 ), B( 1, 0 ), D( t, 0 ) (其中

于常数 A (其中 A> 0 ),求动点的轨迹方程，说 明它表示什么曲线 .后来出现了利用阿氏圆 (这个圆是“隐蔽”的)简解问题，如2 0 0 8年江苏省数学高考试题第 1 3题：若A B=2, A C= G,则. s△胱

的最大值是一

t> 0 ), M是线段 A D上的动点，若t是使 A M≤2删 恒成立的最小正整数，则t= 解

阿氏圆以“ 2个定点， 1个长度比圆”为基本

: .

特征，如果将圆设为已知，探究比值 A、一个定点位 置等，已有相关的模拟题，如：如图 2,已知圆 C: +y2=9 ,

设点 (, Y ),由A M<￣2 B M得

+( Y一 2 )≤4[ (一1 )+], o

点 A(一 5, 0 ),直线 Z:一2 y= 0, 1 )略；

2 )在直线 O A上 (其中 0为坐标原点),存在点 B

化简得

+ Y 一詈 +÷ y≥ 0,