2011年上海市中考数学模拟试题压轴题分析静安25
2011年上海市中考数学模拟试题压轴题分析
例 2011年上海市静安区中考模拟第25题
如图1，在半径为5的⊙O中，点A、B在⊙O上，∠AOB=90º，点C是 AB上的一个动点，AC与OB的延长线相交于点D，设AC=x，BD=y． （1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）如果⊙O1与⊙O相交于点A、C，且⊙O1与⊙O的圆心距为2，当BD＝
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OB时，
求⊙O1的半径；
（3）是否存在点C，使得△DCB∽△DOC？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11静安25”，拖动点C在 AB上运动，观察图形、图像和度量值，可以体验到，∠DCB保持45°不变，y随x的增大而减小．双击按钮“OB＝3BD”，从度量值可以看到，AC＝6．双击按钮“△DCB∽△DOC”，可以体验到，此时C是 AB的中点．
请打开超级画板文件名“11静安25”，
思路点拨
1．综合考虑第（1）、（2）题，可以感悟到应用垂径定理构造辅助线．
2．第（1）题求得的解析式容易折磨人的自信，第（2）题的计算更显得繁琐． 3．第（2）题⊙O1与⊙O的圆心距为2，要考虑两种情况．
4．第（3）题中，隐含了∠DCB保持45°不变这个条件，不易觉察．
满分解答
（1）如图2，过圆心O作OE⊥AC，垂足为E，那么AE＝在Rt△AOE中，OE=
2
2
12
AC
12
x．
AO AE 25
14
x
2
．
