2011年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题

（高一年级）

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）

1．计算：sin210 sin220 sin230 sin290 ＝ 5 ． 2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S12 21，则a3 a4 a9 a0

1

＝____7____．

3．已知P是△ABC所在平面上一点，满足PA PB 2PC 3AB，则△ABP与△ABC

的面积之比为

4．(1

11 2

1:2

)(1

2

．

1

) (1

1

1 2 3 2011

)＝

6712011

1 2 3

．

5．满足方程x 8xsin(xy) 16 0（x R,y [0,2 )）的实数对(x,y)的个数为 8 ．

6．已知函数f(x) x 2|x| 2的定义域为[a,b]（其中a b），值域为[2a,2b]，则符合条件的数组(a,b

)为(,2

21

2

．

2

7．设集合A {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.如果方程x mx n 0（m,n A）至少有

一个根x0 A，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为 23 ．

2

8．已知关于x

的方程|x k| [k 1,k 1]上有两个不相等的实根，则

实数k的取值范围是0 k 1．

二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分） 9．已知二次函数y f(x) x bx c的图象过点（1，13），且函数y f(x 偶函数.

（1）求f(x)的解析式；

（2）函数y f(x)的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.

解 （1）因为函数y f(x

12

)是偶函数，所以二次函数f(x) x bx c的对称轴

2

2

12

)是