巧解外接球问题123
巧解外接球问题
摘要：外接球有关计算问题在近年高考试题中屡见不鲜，本文就长方体、正方体及棱锥的外
接球有关问题，给出了特殊解法。 关键词：巧解 外接球 问题
《普通高中数学课程标准》中对立体几何初步的学习提出了基本要求：“在立体几何初步部分，学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系； 。”由此可见，长方体模型是学习立体几何的基础，掌握长方体模型，对于学生理解立体几何的有关问题起着非常重要的作用。有关外接球的立体几何问题是近年各省高考试题的难点之一，这与学生的空间想象能力以及化归能力有关，本文通过近年来部分高考试题中外接球的问题谈几种解法。 一、直接法
1、求正方体的外接球的有关问题
例1 （2006年广东高考题）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 .
解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为27 .
例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为 .
解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线，
因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是
故该球的体积为.
2、求长方体的外接球的有关问题
例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .
解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。
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