圆锥曲线

1.圆锥曲线的两定义：

第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹是线段F1F2，当常数小于F1F2时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a＜|F1F2|不可忽视。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如

方程 8表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

③对称性：两条对称轴x 0,y 0，一个对称中心（0,0），两个顶点( a,0)，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，

当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为

2a

④准线：两条准线x ； ⑤离心率：x2 y2 k,k 0；

c

c

e ，双曲线 e 1

e e越小，

a

b

开口越小，e越大，开口越大；⑥两条渐近线：y x。

a

（3）抛物线（以y2 2px为例）：①范围：(p 0)

p

x 0,y R；②焦点：一个焦点(,0)，其中p的几何意义

2

是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴y 0，没有

p

对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线x ；

2

c

⑤离心率：e ，抛物线 e 1。

a

如设a 0,a R，则抛物线y 4ax2的焦点坐标为

x2y2

（1）椭圆：焦点在x轴上时2 2 1（a b 0），

ab

y2x2

焦点在y轴上时2 2＝1（a b 0）。方程

ab

Ax2 By2 C表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且

A，B，C同号，A≠B）。

若x,y R，且3x2 2y2 6，则x y的最大值是____，x2 y2的最小值是___

）

________（答：(0,

1

； )）16a

x2y2

（2）双曲线：焦点在x轴上：2 2 =1，焦点在y轴

ab

y2x222

上：2 2＝1（a 0,b 0）。方程Ax By C表示

ab

双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。 如设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，离

x2y2

5、点P(x0,y0)和椭圆2 2 1（a b 0）的关系：（1）

ab

22x0y0

点P(x0,y0)在椭圆外 2 2 1；（2）点P(x0,y0)在椭

ab

22x0y0

圆上 2 2＝1；（3）点P(x0,y0)在椭圆内

ab22x0y0

2 2 1

ab

6．直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）相交： 0 直线与椭圆相交； 0 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有 0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故 0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件； 0 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有 0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故 0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

（2）相切： 0 直线与椭圆相切； 0 直线与双曲线相切； 0 直线与抛物线相切；

（3）相离： 0 直线与椭圆相离； 0 直线与双曲线相离； 0 直线与抛物线相离。

提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）

2的双曲线C过点P(4, )，则C的方程为

_______（答：x2 y2 6）

2

（3）抛物线：开口向右时y 2px(p 0)，开口向左22

时y 2px(p 0)，开口向上时x 2py(p 0)，开口

2

向下时x 2py(p 0)。

心率e

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

22

（1）椭圆：由x,y分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

x2y2

如已知方程 1表示焦点在y轴上的椭

m 12 m

3

圆，则m的取值范围是__（答：( , 1) (1,)）

2

22

（2）双曲线：由x,y项系数的正负决定，焦点在系

数为正的坐标轴上；

（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

提醒：在椭圆中，a最大，a b c，在双曲线中，

2

2

2

x2y2

过双曲线2 2＝1外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有

ab

一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲

线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。

7、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题： S btan

2

c最大，c2 a2 b2。

4.圆锥曲线的几何性质：

x2y2

（1）椭圆（以2 2 1（a b 0）为例）：①范

ab

围： a x a, b y b；②焦点：两个焦点( c,0)；③对称性：两条对称轴x 0,y 0，一个对称中心（0,0），四个顶点( a,0),(0, b)，其中长轴长为2a，短轴长为2b；ca2

④准线：两条准线x ； ⑤离心率：e ，椭圆

ac

0 e 1，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。

x2y2如（1）若椭圆，则m的值 1的离心率e

5m525

是__（答：3或）；

3

（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：b2+c2>2bc

2

c|y0|，当|y0| b即P为

短轴端点时，Smax的最大值为bc；对于双曲线S

b2tan

2

。

y2

1上一点，F1,F2为双曲线练习：点P是双曲线上x 12

的两个焦点，且PF1F2的周长。 1PF2=24，求 PF

2

22）

x2y2

2 1（a 0,b 0）为例）（2）双曲线（以：①2ab

范围：x a或x a,y R；②焦点：两个焦点( c,0)；

1

8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A1，B1，若P为A1B1的中点，

则PA⊥PB；