浅谈数学中的化归原则

数学系 华卫

摘要：能力比知识更重要；数学教育中使学生掌握数学思想方法，对于促进他们能力的发展至关重要；化归原则是数学中一种很重要的思想方法；本文将简要介绍在中学数学中化归原则的具体应用。

关键词：化归

一、引言

数学思想方法是形成能力的重要因素；美籍匈牙利著名数学教育家波利亚奉行的教育宗旨就是"教会青年人思考"，强调将"有益的思考方式和应有的思考习惯"放在教学的首位；日本著名数学教育家米山国藏指出："学生们在初中或高中所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在走出校门后不到一两年就忘掉了；然而不管他们从事什么业务工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学精神，数学的思想方法、研究方法、推理方法和着眼点等，都随时地发生作用，使他们受益终生。"这些精辟的论述充分说明在数学教育中使学生掌握数学思想方法，对于促进他们能力的发展至关重要。

学校数学教育的主要任务是在于培养学生具有创造性的数学能力和解决实际问题的能力。从这个意义上来说，要培养学生的创造性能力必须加强学生数学思想方法的培养和训练；数学中蕴含了丰富的思想方法内容，如抽象概括、问题转化、数形结合、数学模型、归纳猜想、类比联想、演绎推理等，教师应将这些数学思想方法合理运用到数学教学中，去指导其教学活动。本文将简要介绍一种应用非常广泛的数学思想方法——化归原则。

二、化归原则的含义及应用化归原则解决问题的框图模式

所谓"化归"，从字面上看，应理解为转化和归结的意思。数学方法论中所论及的"化归方法"，是指数学家们把待解决的或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中去，最终求获原问题之解答的一种手段和方法。 匈牙利著名数学家罗莎·彼得在其经典名著《无穷的玩艺》中给出的"烧水"事例说明了数学思维方式的特点。她给出的事例是这样的，有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。”提问者肯定了这一回答。但是，他又追问道：“如果其它的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够多的水，那么你友应当怎样去做？”这时被提问者往往会很有信心地回答道：“点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。”但是，这一回答却未能使提问者感到满意，因为，在后者看来，更为恰当的回答是：“只有物理学家才会这样做；而数学家则会倒去壶中的水，并声称他已经把后一问题化归成先前的已经得到解决的问题了。”罗莎指出，这种思维方式对数学家来说是十分典型的。这就是：他们往往不是对问题实行正面的攻击他们往往不是对问题实行正面的攻击，而是不断地将它变形，他们往往不是对问题实行正面的攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化成能得到解决的问题。 把它转化成能得到解决的问题