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高数下册各章总复习题及答案

第八章 多元函数微分法及其应用

8.01 在“充分”，“必要”，“充分必要”中选择一个正确的填入下列空格内：

（1）f x,y 在点 x,y 可微分是f x,y 在该点连续的充 分条件；f x,y 在点 x,y 连续是

f x,y 在该点可微分的必 要条件。

z z

（2）z f(x,y)在点 x,y 的偏导数 x及 y存在是f x,y 在该点可微分的必 要条件；

z z

z f(x,y)在点 x,y 可微分是函数在该点的偏导数 x及 y存的充 分条件。

z z

（3）z f(x,y)的偏导数 x及 y点 x,y 存在且连续是f x,y 在该点可微分的充 分条

件。

2z 2z

（4）函数z f x,y 的两个二阶混合偏导数 x y及 y x在区域D内连续是这两个二阶

混合偏导数在D内相等的充 分条件。

f x,y

8.02求函数

ln1 x y

2

4x y2

2

12

的定义域，并求y 0

x

limf x,y

。

4x y2 0 0 x2 y2 122

1 x y 0 y2 4x

22222 1 x y 1 D x,y0 x y 1,y 4x

解：1) ，定义域：

2)由初等函数的连续性知：

1

lim f(x,y) f(,0) 12x

2y 0

4

1 022

1 2 2 ln1 0 2

2

3ln4

lim

8.03 证明极限

xyx 0x2 y4y 0

2

不存在。

证明：当点 x,y 沿用y k1x趋于点 0,0 时，有

y k1x 0

xy2kx2klim lim x 0 x2 y4x 0 x2 k2x21 k2

xy2

lim

x 0 x2 y4y 0

，显然它是随着k的不同而改变的，

故：极限不存在。

x2y

, 22

f x,y x y

0, 8.04 设

x2 y2 0

x2 y2 0 求 fx x,y 及 fy x,y

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