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36高等数学研究 STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICSVol 10,No 5Sep.,2007单调函数判别法的推广

侯谦民 *(湖北经济管理大学公共课部 武汉 430074)

摘 要 将单调函数的判别法由在开区间内有有限个导数为零,推广到开区间内有可数(列)个导数为零的情形,从而扩大了判别法的应用范围

关键词 单调函数;判别法;推广;可数 中图分类号 O172 1

引言

判别函数的单调性是导数的一个重要应用.如何判别一个函数的单调性,在各种有关教科书上都有其解决的办法.归纳起来,不外乎以下两种:一,如果函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导且f (x)>0(或f (x)<0),则f(x)在[a,b]上单调增加(或单调减少);二,如果f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内除有限个导数为零外f (x)>0(或f (x)<0),则f(x)在[a,b]上单调增加(或单调减少).并且,如果把这个判定法中的闭区间换成其他各种区间(包括无穷区间),结论也成立.这两种方法可以判别许多函数的单调性.但是,对于有些甚至是很简单的函数的单调性就不能直接应用上述两种方法判别.例如,对于函数f(x)=sinx-x在定义区间(- ,+ )内的单调性就不能直接用上述两种方法判别.因为函数f(x)的导数f (x)在(- ,+ )内有无穷多个零点.而这篇文章正是讨论这一类函数单调性的判别,同时上述两种判别方法可看作新判别法的直接结果.

1 导函数的零点为可数集的函数的单调性判别法

定理(判别法) 设函数y=f(x)在[a,b]上(或(- ,+ )内)连续,在(a,b)(或(- ,+ ))内可导

(1)如果f (x)在定义区间内的零点为可数集,并且除这些点外有f (x)>0,则函数f(x)在

[a,b]上(或(- ,+ )内)单调增加;

(2)如果f (x)在定义区间内的零点为可数集,并且除这些点外有f (x)<0,则函数f(x)在

[a,b]上(或(- ,+ )内)单调减少.

证明 用反证法先证明(1)

若f(x)在[a,b]上(或(- ,+ )内)不是单调增加,则在[a,b]上(或(- ,+ )内)至少存在两点x1和x2,不妨假设a x1 x2 b(或-

面分两种情况进行讨论:

<1>f(x1)>f(x2)

因为f(x)在[x1,x2]上连续,在(x1,x2)内可导,于是由拉格朗日(Lagrange)中值定理,必存在点 (x1,x2)使得

f ( )=

这与定理假设矛盾.

<2>f(x1)=f(x2)

<x1<x2<+ ),有f(x1) f(x2).下f(x2)-f(x1)<0x2-x1-