数学物理方法期末试题A 答案和评分标准
数学物理方法期末试题A 答案和评分标准
06级数学物理方法期末考试试卷（A卷）参考答案和评分标准
一、填空题（每小题5分，共40分。） 1、
hsin T
2、通过振动方程求出通解，该通解中含有任意函数，然后通过初始条件来确定函数的形式，就得到达朗贝尔公式u(x,t)
12
(x at) (x at)
12a
x atx at
( )d 。对于无限长弦振动问题，只需将初
始位移 (x)和初始速度 (x)的函数形式代入达朗贝尔公式，就可得到满足初始条件的解。
本征值 3、
本征函数
n
222
( )
,
(n 1,2, )
( ) sin
n ( )
4、 f(x,t)
t0
f(x, ) (t )d
2 ut a2uxx 0,(0 x l,a D)
5、 ux|x 0 0,u|x l u0,
u| 0 t 0
ll
6、u(r, , )
0
(Ar
m 0l 0
Blr
(l 1)
)Pl(cos )(Cmcosm Dmsinm )
m
7、
u0cos
X X 0, 8、 ，或 m
X(0) 0,X (l) X(l) 0 S X X 0,
2 ， ma
X(0) 0,X(l) X(l) 0
YS
物理问题：一根长为l的均匀杆，上端x 0处固定在电梯天花板，杆身竖直，下端x l处挂着
一个质量为m的物体。初始时电梯静止，随后电梯以重力加速度g下降，求解杆的纵振动。杆的自身重力忽略不计。 二、（20分）
解：设u(x,t)分离变量形式的解
u(x,t) T(t)X(x)
代入泛定方程及边界条件，得
T (t) a2T(t) 0
X (x) X(x) 0
X|x 0 0,X |x l 0
求解X(x)为本征值问题，其解为
本征值
本征函数
n
n l
2
22
,n xl
(n 0,1,2, )
Xn(x) cos
将本征值代入T(t)的方程并求解，得
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