2015-2016学年高中数学 第一章 计数原理本章小结 新人教A版选

修

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知识点一 两个计数原理的应用

(1)“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事件．“分步”表现为必须把各步骤均完成，才能完成所给事件，所以准确理解两个原理的关键在于弄清分类加法计数原理强调完成一件事件的几类办法互不干扰，不论哪一类办法中的哪一种方法都能够独立完成事件．

(2)分步乘法计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法．

例1 某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．

(1)任选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？

(2)三个年级各选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？

(3)选2个班的学生参加社会实践，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？ 解析：(1)分三类：第一类从高一年级选1个班，有6种不同方法；第二类从高二年级选1个班，有7种不同方法；第三类从高三年级选1个班，有8种不同方法．由分类加法计数原理，共有6＋7＋8＝21(种)不同的选法．

(2)每种选法分三步：第一步从高一年级选1个班，有6种不同方法；第二步从高二年级选1个班，有7种不同方法；第三步从高三年级选1个班，有8种不同方法．由分步乘法计数原理，共有6×7×8＝336(种)不同的选法．

(3)分三类，每类又分两步．第一类从高一、高二两个年级各选1个班，有6×7种不同方法；第二类从高一、高三两个年级各选1个班，有6×8种不同方法；第三类从高二、高三年级各选1个班，有7×8种不同的方法，故共有6×7＋6×8＋7×8＝146(种)不同选法．

知识点二 排列组合问题

在解决一个实际问题的过程中，常常遇到排列、组合的综合性问题，而解决问题的第一步是审题，只有认真审题，才能把握问题的实质，分清是排列问题、组合问题，还是综合问题，分清分类与分步的标准和方式，并且要遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．

现由五个人排在周一至周五的五天中值班，每人一天，按下列条件各有多少种不同的排法？

(1)甲不值周一且乙不值周二； (2)甲、乙不排在连续的两天； (3)甲排在乙的前面(不一定相邻)．

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解析：(1)法一(直接法) 分“甲值周二”和“甲不值周二”两类：甲值周二，则有A4种

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排法；甲不值周二，则周二有A3种排法，周一有A3种排法，后三天有A3种排法，所以甲不值

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周二的排法有A3·A3·A3种，由分类加法计数原理，满足条件的排法种数为A4＋A3·A3·A3＝78(种)．

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法二(间接法) 五个人的排法总数为A5种，甲值周一和乙值周二各有A4种排法，甲值周