2015专题五:函数与导数(含近年高考试题)

2015专题五:函数与导数

在解题中常用的有关结论(需要熟记): (1)曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x ',切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+

(2)若可导函数()y f x =在 0x x = 处取得极值,则0()0f x '=。反之,不成立。

(3)对于可导函数()f x ,不等式()f x '0>0<()的解集决定函数()f x 的递增(减)区间。

(4)函数()f x 在区间I 上递增(减)的充要条件是:x I ∀∈()f x '0≥(0)≤恒成立

(5)函数()f x 在区间I 上不单调等价于()f x 在区间I 上有极值,则可等价转化为方程

()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。(若()f x '为二次函数且I=R ,则有0∆>)。

(6) ()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数,进而得到()f x '0≥或

()f x '0≤在I 上恒成立

(7)若x I ∀∈,()f x 0>恒成立,则min ()f x 0>; 若x I ∀∈,()f x 0<恒成立,则max ()f x 0<

(8)若0x I ∃∈,使得0()f x 0>,则max ()f x 0>;若0x I ∃∈,使得0()f x 0<,则min ()f x 0<.

(9)设()f x 与()g x 的定义域的交集为D 若x ∀∈D ()()f x g x >恒成立则有[]

min ()()0f x g x -> (10)若对11x I ∀∈、22x I ∈ ,12()()f x g x >恒成立,则min max ()()f x g x >.

若对11x I ∀∈,22x I ∃∈,使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >.

若对11x I ∀∈,22x I ∃∈,使得12()()f x g x <,则max max ()()f x g x <.

(11)已知()f x 在区间1I 上的值域为A,,()g x 在区间2I 上值域为B ,

若对11x I ∀∈,22x I ∃∈,使得1()f x =2()g x 成立,则A B ⊆。

(12)若三次函数f(x)有三个零点,则方程()0f x '=有两个不等实根12x x 、,且极大值大

于0,极小值小于0.

(13)证题中常用的不等式:

① ln 1(0)x x x ≤-> ② ln +1(1)x x x ≤>-() ③

1x e x ≥+ ④ 1x e

x -≥- ⑤ ln 1(1)12x x x x -<>+ ⑥ 22ln 11(0)22x x x x <->

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