2004年全国高中数学联合竞赛(天津初赛)试题(含答案)

二00四年全国高中数学联合竞赛（天津初赛）

（9月19日上午9：00～11：00）

一、选择题（本题共6个小题，每小题5分满分30分）

（1）若函数f(x) 11 8cosx 2sin

2

x的最大值为a，最小值为b，则

a 1b

等于（ ）

（A）18 （B）6 （C）5 （D）0 （2）若0 a b，且a b 1，则下列各式中最大的是（ ） （A） 1 （B）log（C）log2b

2

a log

3

2

b 1

2

3

（D）log2(a ab ab b)

2

（3）已知数列2004，2005，1， 2004， 2005，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2004项之和S2004等于（ ） （A）2005

（B）2004 （C）1 （D）0

e ee e

xx

x x

（4）已知函数f(x)

1

的反函数是f

1

1

(x)，且

|f|f

1

( 0.8)|(0.6)|32

1

k，则（ ）

32

（A）k (0,) （B）k (,1)

2

2

（C）k (1,) （D）k (,2)

（5）正四棱锥S ABCD中，侧棱与底面所成的角为 ，侧面与底面所成的角为 ，侧面等腰

三角形的底角为 ，相邻两侧面所成的二面角为 ，则 、 、 、 的大小关系是（ ） （A） （C）

（B） （D）

（6）若对任意的长方体A，都存在一个与A等高的长方体B，使得B与A的侧面积之比和体积之比都等于k，则k的取值范围是（ ） （A）k 0 （B）0 k 1

（C）k 1

（D）k 1

二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分）

（7）若关于x的方程

xlg

2

a 1

x lga

x只有一个实数解，则a的值等于 ．

（8）在 ABC中，若tanA

12

tanB ，

13

，且最长的边的长为1，则最短的边的的长等于．

（9）若正奇数n不能表示为三个不相等的合数之和，则满足条件的n的最大值为 ． （10）设a、b、c是直角三角形的三条边长，且(a b c) 2(a

n

n

n

2

2n

b

2n

c

2n

)，其中n N，

*