12复数1981-2018年历年数学联赛真题分类汇编Word版含答案

历年数学联赛真题分类汇编Word版含答案

1981年~2018年全国高中数学联赛一试试题分类汇编

12、复数部分

2018A 6、设复数z 满足1=z ,使得关于x 的方程0222=++x z zx 有实根,则这样的复数z 的和为 ◆答案:2

3- ★解析:设bi a z +=(R b a ∈,,且122=+b a )

则原方程变为()()02222

2=-+++i bx bx ax ax ,所以???=-=++0202222bx bx ax ax ***, ①若0=b ,则12=a ,解得1±=a ,检验得,1=a ,31±-=x ,即1-=z ;

②若0=b ,则由**知0=x 或2,检验得:2=x ,代入* 得4

1-=a ,415±=b , 所以i z 4

1541±-=; 综上满足条件的所有复数之和为2341541415411-=--++-+

-i i

2018B 8、已知复数321,,z z z 满足1321===z z z ,r z z z =++321,其中r 是给定的实数,则1

33221z z z z z z ++的实部是 (用含有r 的式子表示) ◆答案: 2

32-r ★解析:记133221z z z z z z w ++=,由复数的模的性质可知:111z z =,2

21z z =,331z z =,因此 133221z z z z z z w ++=。

于是()()w w w z z z z z z z z z r Re 2322322213213212+=++++=++++=

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