抽象函数问题

抽象函数

命题:韩永权 知识要点:

1 所谓抽象函数,是指没有明确给出函数表达式,只给出它具有的某些特征或性质,并 用一种符号表示的函数。由抽象函数构成的数学问题叫抽象函数问题,这类问题是学生 学习中的一个难点,也是各种考试测评的热点问题之一。研究发现,由抽象函数结构、 性质,联想已学过的基本函数,再由基本函数的相关结论,预测、猜想抽象函数可能有 的相关结论,是使抽象函数问题获解的一种有效方法。

2中学阶段常用抽象函数()f x 的“原型”(函数)

1.()()()f x y f x f y +=+——y kx =(k 为常数)

2.()()()f x y f x f y +=——y =x a (0>a 且1≠a )

3.()()()f xy f x f y =+——log a y x =(0>a 且1≠a )

4.()()()f xy f x f y =——n y x =(n 为常数)

5.()()2(

)()22

x y x y f x f y f f +-+=或()()2()()f x y f x y f x f y ++-= y =cos ωx (ω常数)

6.()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-——y =tan x 方法:想具体函数的运算法则,代特殊值。

典例习题:

1.设函数()f x 满足()()2()()22x y x y f x f y f f +-+=,且f (2

π)=0,x 、y ∈R ;求证:()f x 为周期函数,并指出它的一个周期.

2.已知函数f (x )的定义域是x ≠0的一切实数,对定义域内的任意x 1,x 2都有

1212()()()f x x f x f x ?=+,且当

1x >时()0,(2)1f x f >=, (1)求证:f (x )是偶函数;

(2)f (x )在(0,+∞)上是增函数;

(3)解不等式2

(21)2f x -<

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