抽象函数

命题：韩永权 知识要点：

1 所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并 用一种符号表示的函数。由抽象函数构成的数学问题叫抽象函数问题，这类问题是学生 学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究发现，由抽象函数结构、 性质，联想已学过的基本函数，再由基本函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能有 的相关结论，是使抽象函数问题获解的一种有效方法。

2中学阶段常用抽象函数()f x 的“原型”（函数）

1．()()()f x y f x f y +=+——y kx =(k 为常数）

2．()()()f x y f x f y +=——y =x a （0>a 且1≠a ）

3．()()()f xy f x f y =+——log a y x =（0>a 且1≠a ）

4．()()()f xy f x f y =——n y x =(n 为常数）

5．()()2(

)()22

x y x y f x f y f f +-+=或()()2()()f x y f x y f x f y ++-= y =cos ωx (ω常数）

6．()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-——y =tan x 方法：想具体函数的运算法则，代特殊值。

典例习题：

1．设函数()f x 满足()()2()()22x y x y f x f y f f +-+=，且f (2

π)=0，x 、y ∈R ；求证：()f x 为周期函数，并指出它的一个周期．

2.已知函数f (x )的定义域是x ≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1,x 2都有

1212()()()f x x f x f x ?=+，且当

1x >时()0,(2)1f x f >=， （1）求证：f (x )是偶函数；

（2）f (x )在(0,+∞)上是增函数；

（3）解不等式2

(21)2f x -<