推广的罗尔定理的证明及应用

专题研究 黪

推庐 男尔定理证震庶 ◎任滋润汪义瑞 (安康学院数学与统计系,陕西 安康 7 2 5 0 0 0 )

【摘要】将罗尔定理条件削弱得出较一般的结论,并利 用削弱条件后的结论给出无限区间上罗尔定理的严格证 明,并使其在解题过程中得以应用 .

作变换

( )=

(<£<6,其中 6为负数),

【关键词】罗尔定理;有限区间;无限区间;推广【基金项目】陕西省教育规划项目( S G H1 2 4 4 7 ),安康学 院教学改革研究项目( J g O 5 2 2 3 ),安康学院大学生创新创业 训练计划项目( 2 0 1 4 a k x y 0l 8)

^ ( ):

), ( )= l i m h ( ),则 ( )在 ( 6, )满 (, b ),使 h ( t, )=_厂( ) … 因为,一

足 ( 1 )的全部条件 .故 t - o一其 0,所以厂( )= 0 .

1 .罗尔定理 若函数 _厂满足如下条件: (i),在闭区间[ a, b】上连续; (i i ),在开区间 ( a, b )内可导; ( i i i ),( A)=厂 ( b ),则在

对 A=一 的情形可类似证明 . 3 .例题 (一 ,+。。 ),使得厂( )= 0 . 例 1 设函数, ( )=9 ̄ e一且 _厂 ( )在 (一。。,+ )内可 导.证明:存在证明 因为 l i m e = l i m e :0,由推广的罗尔

( a, 6 )内至少存在一点,使得 _尸( )= 0 . 2 .推广的罗尔定理

设( a, 6 )为有限区间或无限区间,厂 ( )在( a, 6 )内可微, 且l i a_ r厂 ( )=l i a_ r厂 ( )=A ( A可为有限区间,也可为± ), 则至少存在一点 的罗尔定理 .

定理得 j∈(一。。,+。。 ),使_厂( )= 0 . 例2 设f ( )在【 0,+。。 )内可微,且满足不等式 0≤ _厂 ( )≤l n— (。,+ 使得 )

( a, b ),使_厂 ( )= 0 .现在我们来证明推广

, v∈( 0,+。。 ) .证明:存在一点 ∈ 2

+√ 1+‘ 一

证明: ( 1 )设( a, 6 )为

有限区间.若 A为有限值, r

厂 ( a+ 0 )

:a,

去 =0 . … +√ 1+

令F ( )={ I, )

【 b一 0 ) : 6,

(。, b ), ∈

证明

l i m F( )= l i m厂 l ( )一 l i m 1 n— _+ …

容易验证 F( )在[ a, b]上满足罗尔定理的条件,故 ( a, b ),使得 F ( )= _厂( )= 0 .

由推广的罗尔定理得

∈( 0,+。。 ), …∞

使得:由已知不等式厂 ( 0 )= 0, l i a厂 r ( )= 0 . 令F ( ): _, ( )一l—— 。 厂( 2

( 2 )若 A=+。。, ( a, b )为有限区间,由f ( )在( a, 6 )内

的连续性知,当c> 0时,直线 Y=c与曲线 Y= _厂 ( )至少相交于两点 (, 用罗尔定理, ~

,则, ( o ): 0,

+√ 1+一 一

。 ) ), ( , 。 ) ),即厂 ( )=八 )=c .且,, ( , : ) c( n, b ),使得 l厂( )=0 .对 A=

E( a, 6 ) .不妨设,<:,对_厂 ( )在[ ,】 c(日, b )上应 。。的情形可类似证明.

例3 设l厂 ( )在[ 0,+。。 )内可导,且 0≤, ( )≤ 1十

,

( 3 )若 A=+。。, ( a, 6 )为无限区间, (i)若 a=一 , 6 :+。。,作变换=t a n t .令g ( t )= _厂 ( t a n t ),

证明:存在一点 > 0,使得厂 ( ):÷辜. 证明 令 F( )=, ( )一 ,由已知不等式 _厂 ( 0 )= o,l i mI,< )=0,贝 0 F( 0 )=0,l i a r F( )= l i a f( r )一 l i a r …∞…∞一+∞∞ —

则g ( f )在 f一号,— 1满足 ( 1 )的全部条件 . 故 e f一{,{1,使g ( )= 0 .而g ( )= f( ̄ . a n o l ) s e c o/ , S e C >0,

:0 .

于是取=t a n c ̄ E(一 ,+。。 ),就有 l厂( )=0 . (i i )若 a为有限, b=+ ,即( a, b ):( a,+。。 ) . 作

变换 (£ ): ( o<<m,其中 为正数),

1+

由推广的罗尔定理得,存在一点>0,使得 F ( )=0 . ㈤= .

g ( t )=/ (

), g ( f )=… l i m— g ( f ) j : 一 t J =

则 g( t )在 ( a, m)满足 ( 1 )的全部条件.故了t。∈ ( n, m),使g ( )=厂( ) 1 m

。,其中= Ⅳ一

.

【参考文献】 [ 1]陈守信.考研数学分析总复习——精选名校真题[ M] .北京:机械工业出版社, 2 0 1 2 . [ 2]华东师范大学数学系,数学分析 (上册 ),第三版[ M] .北京:高等教育出版社, 2 0 0 1 . [ 3]任亲谋 .数学分析选讲[ M] .西安:陕西师范大学 出版社 . 2 0 0 8 .

显然。< f<+。。 .而 L, n一 0 J

> o,所以厂( )= 0 .

( i i i )若 b为有限, a=一 ,即( a, 6 )=(一。。, 6 ) . 学学习与研究 2 0 1 5 . 5

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