高中数学第四章定积分3定积分的简单应用教材基础北师大选修2-2创新

§3 定积分的简单应用

我们可直接用定积分的定义计算有些定积分的值. 但对于有些定积分, 如21?1x dx, 几乎不可能直接用定义计算. 那么, 有没有更简便的方法求定积分呢? 这就是我们本节所要研究的微积分基本定理的主要内容.

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一、路程与路程函数导数的关系

1. 条件:运动物体经过的一段路程s 关于时间t 的函数为s=s(t),且t∈[a,b ]; 物体从时刻t=a到t=b走过的路程为s(b)-s(a).

状元笔记 1.物体从t=a到t=b所走过的路程就是在每一个小时间段内所走过路程的累积.

2. 连续运动的物体在一段时间内的路程等于其路程函数导数在这一段时间内的定积分.

2. 问题:物体经过的一段路程与路程函数导数有何关系?

状元笔记 1.物体从t=a到t=b所走过的路程就是在每一个小时间段内所走过路程的累积.

2. 连续运动的物体在一段时间内的路程等于其路程函数导数在这一段时间内的定积分.

3. 推导

(1)区间分割a=t0<t1<t2<…<tn =b.

(2)物体在区间[a,b ]内的路程与各分割区间内的路程的关系

s(b)-s(a)=[s(t1)-s(t0) ]+[s(t2)-s(t1) ]+…+[s(tn )-s(tn-1) ]=s(t1)-s(t0).

(3)运动物体在各分割区间上走过的路程与其速度函数如右图所示.

因此得出:s(b)-s(a)≈

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v(t0) Δt 1+(t1) Δt 2+…+v(t n-1) Δt n .

(4)积分表示:s(b)-s(a)= ?a v(t)dt.

?a s′(t)dt. b b (5)推出结论:s(b)-s(a)=

二、微积分基本定理

1. 微积分基本定理的内容:设f(x)在区间[a,b ]上连续, 且F(x)是它在该区间上的一个原函数, 则有?a f(x)dx=F(b)-F(a). b

状元笔记 微积分基本定理建立了积分与导数间的密切关系, 可以看出, 若要求出某一连续函数的定积分, 只需要求出导函数的一个原函数, 就可利用牛顿—莱布尼茨公式求出这个函数的定积分, 这是求定积分的一个重要方法.

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