用定积分推导三角函数公式教

2 0 1 3年 6月

教育纵横

坛线

用定积分推导三角函数公式 ⑩山西省永济市永济中学王有强

⑩华中师范大学数学与统计学院

徐章韬

微积分已经走进了教科书中,从微积分的视角看待

三角函数公式会得到一些有趣的结果.文[ 1]曾用微分揭示过三角公式之间有内在关系,微分与积分是互逆运算, 这样,从积分的角度也可以推导三角函数公式. 一

积分得, 1 t a l。=吉 s e l。, 化简t a n Z a+ 1= s e c 2 a .

此处用到, ( t a n ) = s e c Z x, ( s e c ) : t a n; 2 s e e .

推导两角和与差的公式 = C O S; 2 C 0 S l f - s i n x s i n l f,两边同时取定积分:

由t a n: a+ 1= s e c 2 a使用一次诱导公式,得到c 0 t+ 1= cscZ c ̄ .

由c o s ( 0 s (

三、推导两倍角公式 ): s… s卢一 i n n卢,

由s i n 2 x= 2 s i n c o s,对等式两边同时取定积分,有

积分得, s i n ( ) I;= s i n l; c o s/ 3+ c o s I o s i n/ 3, 化简得, s i n ( 书)一 s i n s i n c 0 s c o s O L— C O S O ) s i n l, f 化简得, s i n ( a+ ̄= s i n c 0 s l f+ c o s o t s i n t f .

J 0 s i n 2 x d x= J 0 2 s i n c。 s d x= 2 J』 0 s i n d ( s i n x ), 这样有一 1 c o s j:= 2 s i n l:, 化简有, C O S 2 x= 1— 2 s i n 2 x .

二、推导同角三角函数公式 1 .推导s i n+ c 0 s= 1

四、由万能公式推导两倍角公式 教材是由两倍角公式,经齐次化后,化简得到万能公式;反过来,由万能公式,经两边取定积分,也能得到两倍

由于 s i n x= c o s (一" f 2 ; 2 ),等式两边同时取定积分:

d ( s )=。 s (詈 ) d ( s i = n x 'co s x

角公式. 由s i n 2 x: s i n 2 x d x= o

,对等式两边同时

取定积分,有 ,

l+t a n ̄ x

J。 c。 s d ( c。 s ), 一

积分得, 1 s i =

(吉 c。 一{ ),

化简有一 c o s l t an( ̄

即得: s i n+ c 0 s= 1 . 2 .推导t a n 2 a+ 1= s e c Z a。 c o t 2 a+ l= c s d a

t a n x=t 一

一 J。雨一+ t 2出一 I。= s i n 2 o ̄, 1

由于 t a n x= c o t (詈 ),对等式两边同时取定积分: t an 。 t

化简得, C O S 2 x= l一 2 s i n ̄ x .

在研读教材时,前后关联,相互诠释,会得到一些新见解.这种学习方法是我国著名数学家华罗庚先生所大

(詈 ) d ( t a n )

力提倡的.微分和定积分都是可以下放到中学的内容,作 为教师,熟悉这些做法,使学生学会从不同的角度看问题,获得不同的见解,这是非常重要的,因为教育价值是

=

J。 t a n x s e c 2 x d x

= e c s e c; 2 ),

数学教学的根本所在 .

高中版中 7毒 i: -? 霜●墨簟一

用定积分推导三角函数公式教

Word文档免费下载Word文档免费下载:用定积分推导三角函数公式教 (共1页,当前第1页)

用定积分推导三角函数公式教相关文档

最新文档

返回顶部