李雅普诺夫稳定性方法

李雅普诺夫稳定性方法

李雅普诺夫稳定性方法

对于现代控制理论涉及的更广泛类型的系统,通常采用李雅普诺夫稳定性判据。李雅普诺夫第一方法又称间接法,它是通过系统状态方程的解来判断系统的稳定性。李雅普诺夫第二方法又称直接法,它不通过系统状态方程的解来判断系统的稳定性,而是借助李雅普诺夫函数对稳定性作出判断,是从广义能量的观点进行稳定性分析的。例如有阻尼的振动系统能量连续减小(总能量对时间的导数是负定的),系统会逐渐停止在平衡状态,系统是稳定的。由于李雅普诺夫第一方法求解是非常烦琐的,因此李雅普诺夫第二方法获得更广泛的应用。李雅普诺夫第二方法的难点在于寻找李雅普诺夫函数。现在已有一些典型系统寻找李雅普诺夫函数的方法,但迄今尚没有通用于一切系统的构造李雅普诺夫函数的方法。

f x,t ,对于系统x平衡状态为xe 0, 满足f xe 0。如果存在一个标量函数V x ,

它满足V x 对所有x都具有连续的一阶偏导数;同时满足V x 是正定的;则

x dV(x)/dt为半负定,则平衡状态 (1)若V x 沿状态轨迹方向计算的时间导数V

稳定;

x 为负定,或虽然V x 为半负定,但对任意初始状态不恒为零,则平衡状(2) 若V

态渐近稳定。进而当x 时,V(x) ,则系统大范围渐近稳定;

x 为正定,则平衡状态不稳定。 (3) 若V

V(x)通常选为二次型,判断二次型V(x) x Px的正定性可由赛尔维斯特(Sylvester)准则来确定,即正定(记作V(x)>0)的充要条件为P的所有主子行列式为正。如果P的所有主子行列式为非负,为正半定(记作V(x)≥0);如果-V(x)为正定,则V(x)为负定(记作V(x)<0);如果-V(x)为正半定,则V(x)为负半定(记作V(x)≤0)。

V(x) x1 x2 101 2 x1 x3 14 1 x2 2 11 x 3

10

0,114 2 1 0

2 11 10 0,10114

则V(x)正定。

22 1 x2 x1(x1x x2)

22 2 x1 x2(x1x x2)

可见,(0,0)是唯一的平衡状态。设正定的标量函数为

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