利用直接发求解线性方程组及其应用

利用直接法解线性方程组及其应用

摘要: 在科学研究和工程技术中有许多问题可归结为求解线性代数方程组的问

题和常微分方程的定解问题。本文主要讨论了解线性方程组的各种直接解法,常微分方程的边值问题及其应用,最后介绍了病态方程和及其求解方法。

关键字: 线性方程组 直接法 应用举例

一、引言

随着科学技术的发展,提出了大量复杂的数值计算问题,在建立电子计算机成为数值计算的主要工具以后,它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。有可靠的理论分析,要有数值实验,并对计算的结果进行误差分析。数值分析的主要内容包括插值法,函数逼近,曲线拟和,数值积分,数值微分,解线性方程组的直接方法,解线性方程组的迭代法,非线性方程求根,常微分方程的数值解法。运用数值分析解决问题的过程包括:

实际问题→数学建模→数值计算方法→程序设计→上机计算求出结果。

在自然科学研究和工程技术中有许多问题可归结为求解线性代数方程组的问题,线性方程组求解是科学计算中最常遇到的问题。如在应力分析、电路分析、分子结构、测量学中都会遇到解线性方程组问题。在很多广泛应用的数学问题的数值方法中,如三次样条、最小二乘法、微分方程边值问题的差分法与有限元法也都涉及到求解线性方程组。直接法是在没有舍入误差的情况下,通过有限步四则运算来求的方程组精确解的方法。直接法包括高斯列主元消去法,三角分解法,追赶法等的基本思想和原理,学习它们各自的优缺点及适用范围。能够利用直接法解线性方程组解决一些如道路的交通流量,电网的电流流量,解析几何等的实际问题。

二、解线性方程组的方法

关于线性代数方程组的数值解法一般分为两大类:直接法和迭代法。 1、 直接法

直接法就是经过有限步算术运算,可求的线性方程组精确解的方法(若计算过程没有舍入误差),但实际犹如舍入误差的存在和影响,这种方法也只能求得近似解,这类方法是解低阶稠密矩阵方程组级某些大型稀疏矩阵方程组的有效方法。直接法包括高斯消元法,矩阵三角分解法、追赶法、平方根法。

2、 迭代法

迭代法就是利用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。将方程组的解看作是某极限过程的极限值,且计算这一极限值的每一步是利用前一步所得结果施行相同的演算步骤而进行。迭代法具有需要计算机的存储单元少,程序设计简单,原始系数矩阵在计算过程始终不变等优点,但存在收敛性级收敛速度问题。迭代法是解大型稀疏矩阵方程组(尤其是微分方程离散后得到的大型方程组)的重要方法。迭代法包括Jacobi法SOR法、SSOR法等多种方法。本文主要介绍用高斯消元法,矩阵三角分解法求解线性方程组及其应用。

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